Ellipsoïde


En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de symétrie. L'intersection d'un ellipsoïde avec un plan est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

L'équation d'un ellipsoïde centré à l'origine d'un repère orthonormé et aligné avec les axes du repère est de la forme

\({\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}\)

a, b et c, appelés demi-axes de l'ellipsoïde, sont des paramètres strictement positifs.

Sommaire

Équations


Équation généralisée

Dans un repère cartésien en trois dimensions, l'équation d'une surface quadratique est \({\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\,\mathbf {x} +B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +C=0}\) où la matrice A est, par construction, une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont toutes réelles. Si ces trois valeurs propres sont strictement positives (ou strictement négatives), c'est-à-dire que A est de signature (3, 0) (ou (0, 3)), cette équation définit une quadratique type ellipsoïde. À condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice A est alors définie positive. Le déterminant de A n'étant pas nul, la quadratique possède un centre dont les coordonnées sont \({\displaystyle \mathbf {v} =-{\frac {1}{2}}A^{-1}B,}\) et son équation s'écrit sous la forme : \({\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=k}\) avec \({\displaystyle k={\frac {1}{4}}B^{\mathsf {T}}A^{-1}B-C.}\)

Si k est strictement positif, l'ellipsoïde (centré en v et arbitrairement orienté) est alors l'ensemble des points x vérifiant l'équation :

\({\displaystyle \left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A_{1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=1}\)

A1 est réelle, définie positive.

De plus, les vecteurs propres de A1 définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de A1 sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (c'est-à-dire 1/a2, 1/b2 et 1/c2)[1]. Les valeurs singulières de A1, étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

Paramétrisation

Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilités, en choisissant l'axe z, est la suivante : \({\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos(\theta )\cos(\phi )\\y=b\cos(\theta )\sin(\phi )\\z=c\sin(\theta )\end{cases}}}\)\({\displaystyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\quad {\rm {et}}\quad -\pi \leq \phi \leq \pi .}\) Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un θ constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan z = k. Le paramètre ϕ correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite.

Espace projectif

En géométrie projective[réf. nécessaire], l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+1=0.}\)

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.}\)

Cas particuliers


Ellipsoïde triaxial

Un ellipsoïde est dit triaxial si ses trois demi-axes sont différents.

Ellipsoïde de révolution

Dans le cas où seuls deux demi-axes sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, permettant d'obtenir les miroirs elliptiques des projecteurs de cinéma et les ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

En prenant a = b, l'équation s'écrit :

\({\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0.}\)

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe Oz. En effet, les sections par les plans z = k sont des cercles d'axe Oz.

La méridienne dans le plan xOz que l'on obtient avec y = 0 est l'ellipse d'équation :

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0.}\)

On remarque que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant x2 par x2 + y2.

Sphère

Dans le cas dégénéré où a = b = c, l'ellipsoïde est une sphère de rayon a.

Propriétés


Volume

Le volume de l'espace délimité par un ellipsoïde est égal à : \({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc={\frac {4\pi }{3}}{\sqrt {\det \left({A_{1}}^{-1}\right)}}.}\)

Cette formule donne le volume d'une boule de rayon a dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Les volumes du plus grand parallélépipède rectangle inscrit et du plus petit parallélépipède rectangle circonscrit sont donnés par les formules suivantes : \({\displaystyle V_{\max }={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc\quad {\rm {et}}\quad V_{\min }=8abc.}\)

Aire

L'aire d'un ellipsoïde quelconque est donnée par la formule[2]

\({\displaystyle {\mathcal {A}}=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\phi )}}\left(E(\phi ,k)\sin ^{2}(\phi )+F(\phi ,k)\cos ^{2}(\phi )\right),}\)

\({\displaystyle \cos(\phi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}\)

et où F(ϕ , k) et E(ϕ , k) sont les intégrales elliptiques incomplètes de première et deuxième espèce respectivement[3] :

\({\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}},\quad E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}~\mathrm {d} \theta .}\)

Excentricité

Si abc (c'est-à-dire si a est la longueur du plus grand demi-axe et c est la longueur du plus petit demi-axe), l'excentricité de l'ellipsoïde est donnée par la formule suivante :

\({\displaystyle e={{\sqrt {a^{2}-c^{2}}} \over a}.}\)

Applications


Les propriétés des ellipsoïdes ont été étudiées depuis des siècles dans la recherche des formes que prennent les systèmes en rotation, Newton s'est intéressé en particulier à l'aplatissement des pôles (modèle ellipsoïdal de la Terre). Les mathématiciens les plus brillants ont contribué à l'étude des figures ellipsoïdales d'équilibre des systèmes en rotation[4] que l'on rencontre dans la nature, par exemple :

Propriétés dynamiques

Une ellipsoïde de densité uniforme ρ possède la masse suivante :

\({\displaystyle m=\rho V={\frac {4\pi \rho }{3}}abc}\)

Les moments d'inertie dans le système des axes principaux sont :

\({\displaystyle I_{xx}={\frac {m}{5}}(b^{2}+c^{2})}\)
\({\displaystyle I_{yy}={\frac {m}{5}}(a^{2}+c^{2})}\)
\({\displaystyle I_{zz}={\frac {m}{5}}(a^{2}+b^{2})}\)

Les produits d'inertie sont tous nuls dans ce système d'axe :

\({\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{xz}=I_{zx}=I_{yz}=I_{zy}=0}\)

Exemples


Notes et références


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ellipsoid  » (voir la liste des auteurs ).
  1. (en) Stephen P. Boyd (en), « Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD » , sur Université Stanford, automne 2012-2013.
  2. (en) F. W. J. Olver (dir.), D. W. Lozier (dir.), R. F. Boisvert (dir.) et C. W. Clark (dir.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, (lire en ligne ).
  3. http://dlmf.nist.gov/19.2
  4. (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven (USA), Yale University Press, , 253 p. (ISBN 0-486-65258-0)

Voir aussi


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Catégories: Quadrique




Information à partir de: 06.05.2021 08:46:03 CEST

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