Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 - fr.LinkFang.org

Fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2


En géostatistique, une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 (abrégée en FASt-2) est une fonction aléatoire Z sur un espace S telle que :

  • sa moyenne est constante : Ex[Z(x)] = m
  • sa covariance est invariante par translation, fonction du seul vecteur distance h entre les deux points : Cov[Z(x),Z(x+h)]=C(h)

Le processus est dit centré si sa moyenne est nulle en tout point

.

Les espérance et variance d'une combinaison linéaire s'expriment simplement : \({\displaystyle \mathrm {E} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\mathrm {E} \left[Z\right]\sum _{i}\lambda _{i}}\) \({\displaystyle \mathrm {Var} \left[\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}\right]=\sum _{i}\sum _{j}\lambda _{i}\lambda _{j}\mathrm {Cov} \left[Z_{i},Z_{j}\right]}\)

Propriétés


\({\displaystyle \forall m,a\in \mathbb {R} ^{m},z_{1}\cdots z_{m},\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}a_{i}a_{j}C\left(z_{i}-z_{j}\right)\geq 0}\)

Champ stationnaire au second ordre sur d


Soit X un champ réel sur d, centré et stationnaire au second ordre. On le suppose connu sur Dn = ⟦1 ; nd. Prenons la covariance empirique à une distance k ∈ ℤd : \({\displaystyle {\hat {C}}_{n}\left(k\right)={\frac {1}{n^{d}}}\sum _{i,i+k\in D_{n}}X_{i}X_{i+k}}\) Les effets de bords augmentent avec d : la proportion de points au bord de Dn est en dn. L'effet de bord est sans conséquence sur le biais asymptotique sur , il est significatif sur 2 et dominant sur d, d ≥ 3. Pour éliminer ce biais et conserver une covariance empirique semi-définie positive, on procède au rabotage de données, par un rabot w : [0 ; 1]→[0 ; 1], C2, croissant, w(0) = 0, w(1) = 1.


Voir aussi











Catégories: Variable aléatoire | Géostatistique | Fonction mathématique




Information à partir de: 09.12.2020 02:08:01 CET

Source: Wikipedia (Auteurs [Histoire])    Licence: CC-by-sa-3.0

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