Formule autoréférente de Tupper - fr.LinkFang.org

Formule autoréférente de Tupper


La formule autoréférente de Tupper est une inégalité à deux variables. Lorsque l'ensemble des points du plan qui satisfont cette inégalité sont tracés, une partie du plan représente la formule elle-même. Créée par Jeff Tupper en 2001[1], il s'agit d'un exemple d'autoréférence.

Sommaire

Caractéristiques


Définition

La formule est une inégalité définie par :

\({\displaystyle {1 \over 2}<\left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)},2\right)\right\rfloor }\)

où \({\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }\) est la fonction partie entière et mod l'opérateur modulo[1],[2],[3],[4].

Tracé

Soit k le nombre de 543 chiffres égal à :

960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266
424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723
487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585
136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381
627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848
378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702
369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719

Si on trace le graphe de l'ensemble des points (x,y) qui satisfont l'inégalité de Tupper sur la restriction du plan à 0 < x < 106 et k < y < k+17, on obtient le graphe suivant[1],[5] :

Fonctionnement

Du fait de la partie entière et du modulo 2, la partie droite de l'inégalité ne peut prendre comme valeur que 0 ou 1. Les solutions de l'inégalité sont donc celles de l'égalité :

\({\displaystyle \left\lfloor \mathrm {mod} \left(\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor 2^{-17\lfloor x\rfloor -\mathrm {mod} (\lfloor y\rfloor ,17)},2\right)\right\rfloor =1}\)

On pose q le quotient de la division euclidienne de \({\displaystyle \left\lfloor {y}\right\rfloor }\) par 17 et r son reste : \({\displaystyle q=\left\lfloor {y \over 17}\right\rfloor }\) et \({\displaystyle r=\mathrm {mod} \left(\left\lfloor {y}\right\rfloor ,17\right)}\). On peut écrire : \({\displaystyle \left\lfloor {y}\right\rfloor =17q+r}\). L'équation précédente devient (en divisant par la puissance de 2 plutôt qu'en multipliant par son opposé) :

\({\displaystyle \left\lfloor \mathrm {mod} \left({q \over 2^{17\lfloor x\rfloor +r}},2\right)\right\rfloor =1}\)

c'est-à-dire :

\({\displaystyle \left\lfloor {q \over 2^{17\lfloor x\rfloor +r}}\right\rfloor }\) est impair.

Dans cette formule, la partie entière de la division de q par \({\displaystyle 2^{17\lfloor x\rfloor +r}}\) permet d'obtenir le \({\displaystyle 17\lfloor x\rfloor +r}\)-ième bit de q[6].

De façon générale, la formule de Tupper décode une image matricielle monochrome stockée dans une constante q. Le bit de poids faible de q encode le pixel du coin inférieur gauche de l'image, les 17 premiers bits de poids faibles encodent la colonne de pixels la plus à gauche, les 17 bits suivants encodent la 2e colonne la plus à gauche, ainsi de suite.

Lorsqu'elle est appliquée à tous les nombres y positifs, l'inégalité trace une bande verticale contenant toutes les images possibles de 17 pixels de hauteur. La tranche située entre k et k+17 décrit la formule elle-même, mais ce n'est qu'un cas particulier : toutes les autres formules possibles sont également décrites ailleurs, pour peu qu'elles tiennent sur 17 pixels de hauteur.

Historique


Jeff Tupper publie la formule dans un article pour le SIGGRAPH 2001 (une conférence annuelle sur l'infographie), discutant des méthodes de tracés analogues à celle employée par GrafEq, un programme de représentation graphique[1].

Tupper a composé depuis des versions étendues de sa formule originale, qui excluent tout le plan sauf une zone particulière[7].

Références


  1. a b c et d (en) Tupper Jeff, « Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables », SIGGRAPH 2001 Conference Proceedings,‎ (lire en ligne )
  2. (en) « Tupper's Self-Referential Formula » , MathWorld
  3. (en) D. H. Bailey ; J. M. Borwein ; N. J. Calkin ; R. Girgensohn ; D. R. Luke ; V. H. Moll, Experimental Mathematics in Action, Natick, MA, A. K. Peters, , 322 p. (ISBN 978-1-56881-271-7), p. 289
  4. collectif, « Self-Answering Problems », Math Horizons, vol. 13,‎ , p. 19
  5. (en) S. Wagon, « Best Puzzles - Problem 14 »
  6. (fr) « Le produit de Tupper » , Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes
  7. « Index of /selfplot » , peda.com

Annexes


Articles connexes

Liens externes








Catégories: Autoréférence | Inégalité




Information à partir de: 08.12.2020 08:09:15 CET

Source: Wikipedia (Auteurs [Histoire])    Licence: CC-by-sa-3.0

Changements: Toutes les images et la plupart des éléments de conception liés à celles-ci ont été supprimés. Certaines icônes ont été remplacées par FontAwesome-Icons. Certains modèles ont été supprimés (comme «l’élargissement de l’article doit être développé) ou attribués (comme les« notes »). Les classes CSS ont été supprimées ou harmonisées.
Les liens spécifiques à Wikipedia qui ne mènent pas à un article ou à une catégorie (tels que «Liens rouges», «Liens vers la page de modification», «Liens vers des portails») ont été supprimés. Chaque lien externe a une icône FontAwesome supplémentaire. Outre quelques modifications mineures dans la conception, le conteneur de supports, les cartes, les boîtes de navigation, les versions parlées et les microformats géographiques ont été supprimés.

Notez s'il vous plaît: Étant donné que le contenu donné est automatiquement extrait de Wikipedia à un moment donné, une vérification manuelle était et n'est pas possible. Par conséquent, LinkFang.org ne garantit pas l'exactitude ni l'actualité du contenu acquis. S'il existe une information erronée pour le moment ou dont l'affichage est inexact, n'hésitez pas à Contactez-nous: l'e-mail.
Voir également: mentions légales & charte de confidentialité.