Géostatistique non linéaire - fr.LinkFang.org

Géostatistique non linéaire


La géostatistique non linéaire est la branche de la géostatistique qui étudie les combinaisons non linéaires de la fonction aléatoire étudiée.

Elle regroupe les méthodes d'espérance conditionnelle, du krigeage disjonctif, et les simulations conditionnelles.

En effet, la géostatistique linéaire, notamment le krigeage, fournit l'espérance et l'écart-type conditionnels de la distribution de la fonction aléatoire étudiée connaissant les données, mais pas la distribution elle-même (par exemple les quantiles).

Sommaire

Anamorphose gaussienne


L'anamorphose gaussienne est la transformation bijective de la fonction aléatoire étudiée Z en une fonction aléatoire de distribution gaussienne Y = Φ(Z), étape préalable à la plupart des méthodes non linéaires.

Une méthode utilise les polynômes d'Hermite : \({\displaystyle H_{0}\left(Y\right)=1~;~H_{1}\left(Y\right)=-Y~;~H_{2}\left(Y\right)={\frac {Y^{2}-1}{\sqrt {2}}};H_{n+1}\left(Y\right)=-{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}YH_{n}\left(Y\right)-{\sqrt {\frac {n}{n+1}}}H_{n-1}\left(Y\right)~{\text{pour}}~n>0}\) \({\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}H_{n}\left(Y\right)}\) \({\displaystyle f_{n}=\int zH_{n}\left(y\right)g\left(y\right)\mathrm {d} y}\) avec g la fonction de densité d'une loi gaussienne centrée réduite On réalise une approximation à l'ordre n en sélectionnant les termes associés aux coefficients fk, k ∈ ⟦0;n. On peut vérifier : \({\displaystyle f_{0}=\mathbf {E} \left[Z\right]}\) et \({\displaystyle \mathbf {Var} \left[Z\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\left(f_{n}\right)^{2}}\) La fonction Φ est strictement croissante sur un intervalle dit intervalle pratique [Zmin p ; Zmax p], donc elle y est bijective. On peut prolonger la bijection hors de cet intervalle par interpolation linéaire.

Espérance conditionnelle


L'espérance conditionnelle de dépasser un seuil s est représentée par l'estimateur : \({\displaystyle \mathbf {E} \left[I_{Z\left(x\right)\geq s}\right]=\mathbf {P} \left[Z\left(x\right)\geq s|Z\left(x_{i}\right)=z_{i}\right]}\)I est la fonction indicatrice.

Elle n'est calculable que si la fonction aléatoire est multigaussienne ; l'espérance conditionnelle suit alors une distribution gaussienne de moyenne le krigeage simple de Z noté ZKS et de variance la variance de krigeage simple de Z notée σKS2.

La procédure est donc de réaliser l'anamorphose de la variable étudiée Z en une variable Y gaussienne, l'analyse variographique puis le krigeage de Y, enfin de considérer : \({\displaystyle \mathbf {P} \left[Z\left(x\right)\leq s\right]=\Phi \left({\frac {s-Z_{\mathrm {KS} }\left(x\right)}{\sigma _{\mathrm {KS} }}}\right)}\) où \({\displaystyle \Phi }\) est la fonction de répartition normale

De même, un intervalle de confiance peut être construit par : \({\displaystyle \left[\Phi ^{-1}\left(\mathbf {P} \left[Y\left(x\right)\leq s\right]\right)\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right);\Phi ^{-1}\left(1-\mathbf {P} \left[Y\left(x\right)\geq s\right]\right)\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right)\right]}\) Par exemple, pour un intervalle de confiance à 95%, soit s = 97,5% \({\displaystyle \left[-1,96\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right);1,96\sigma _{\mathrm {KS} }+Y_{\mathrm {KS} }\left(x\right)\right]}\)

Simulations conditionnelles


La technique suppose de réaliser l'anamorphose gaussienne de Z en Y, puis à réaliser un grand nombre de simulations afin d'en étudier les statistiques. Plusieurs méthodes de simulation non conditionnelle de fonction aléatoire de loi spatiale multigaussienne sont possibles : décomposition matricielle, moyennes mobiles discrètes, méthodes spectrales, bandes tournantes, méthode séquentielle, … Le conditionnement s'effectue ensuite simplement par krigeage.

La méthode des bandes tournantes revient à :

Conditionnement conforme, conditionnement uniforme











Catégories: Géostatistique




Information à partir de: 09.12.2020 10:21:12 CET

Source: Wikipedia (Auteurs [Histoire])    Licence: CC-by-sa-3.0

Changements: Toutes les images et la plupart des éléments de conception liés à celles-ci ont été supprimés. Certaines icônes ont été remplacées par FontAwesome-Icons. Certains modèles ont été supprimés (comme «l’élargissement de l’article doit être développé) ou attribués (comme les« notes »). Les classes CSS ont été supprimées ou harmonisées.
Les liens spécifiques à Wikipedia qui ne mènent pas à un article ou à une catégorie (tels que «Liens rouges», «Liens vers la page de modification», «Liens vers des portails») ont été supprimés. Chaque lien externe a une icône FontAwesome supplémentaire. Outre quelques modifications mineures dans la conception, le conteneur de supports, les cartes, les boîtes de navigation, les versions parlées et les microformats géographiques ont été supprimés.

Notez s'il vous plaît: Étant donné que le contenu donné est automatiquement extrait de Wikipedia à un moment donné, une vérification manuelle était et n'est pas possible. Par conséquent, LinkFang.org ne garantit pas l'exactitude ni l'actualité du contenu acquis. S'il existe une information erronée pour le moment ou dont l'affichage est inexact, n'hésitez pas à Contactez-nous: l'e-mail.
Voir également: mentions légales & charte de confidentialité.