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Krigeage


Le krigeage est, en géostatistique, la méthode d’estimation linéaire garantissant le minimum de variance. Le krigeage réalise l'interpolation spatiale d'une variable régionalisée par calcul de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, utilisant l'interprétation et la modélisation du variogramme expérimental. C'est le meilleur estimateur linéaire non-biaisé ; il se fonde sur une méthode objective[1]. Il tient compte non seulement de la distance entre les données et le point d'estimation, mais également des distances entre les données deux-à-deux.

Le terme krigeage provient du nom de famille de l'ingénieur minier sud-africain Danie G. Krige[2]. Il a été formalisé pour la prospection minière par Georges Matheron[3] (1930-2000) au BRGM puis à l'École des mines de Paris. Depuis, le domaine de ses applications a largement été étendu, touchant notamment la météorologie, les sciences de l’environnement et l’électromagnétisme.

Selon les hypothèses sous-jacentes, le krigeage se décline sous plusieurs variantes (simple, ordinaire…) qui toutes utilisent les mêmes principes.

Sommaire

Notations utilisées


Principe d'un krigeage


Un krigeage habituel fait se succéder plusieurs actions :

Le calcul fournit également une variance de krigeage σK2, qui dépend du variogramme et de la position des points de données, mais pas des valeurs de celles-ci.

Contraintes d'un krigeage


Le fait que le krigeage est l'estimateur linéaire de variance minimale se traduit par quatre contraintes successives, qui permettent d'écrire le système de krigeage pour toutes les variantes de la méthode. La suite détaille les quatre étapes de construction d'un estimateur Q* pour une quantité à estimer Q.

Linéarité

Dans un souci de réalisme, on pose que la quantité à estimer est une fonctionnelle linéaire de la fonction aléatoire étudiée (dans le cas général: \({\displaystyle \scriptstyle Q=\int Z\left(x\right)p\left(\mathrm {d} x\right)}\)); le cas plus large (problèmes de coupure et de sélection…) relève de la géostatistique non linéaire.

L'estimateur est posé comme combinaison linéaire des données, de poids inconnus pour l'instant : \({\displaystyle \scriptstyle Q^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}\)

Autorisation

L'erreur d'estimation doit être une combinaison linéaire autorisée, c'est-à-dire que son espérance et sa variance doivent être définies.

La condition d'autorisation s'écrit différemment selon le modèle sous-jacent supposé (on supposera toujours le support borné).

Universalité

On exige de l'estimateur qu'il ne présente pas de biais statistique par rapport à la quantité à estimer. Cette contrainte peut être nommée contrainte de non-biais ou d'espérance nulle. Elle s'écrit :\({\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} \left[Q^{*}-Q\right]=0}\)

Optimalité

On demande à l'erreur d'estimation d'être de variance minimale, sous les contraintes précédentes. Sauf cas particuliers, il y existe une solution unique \({\displaystyle \scriptstyle \left\{\lambda _{i}\right\}_{i=1..n}}\) à ce problème d'estimation.

Le résultat de ces quatre contraintes est, dans le cas général, un système de Cramer, qui admet une solution et une seule.

On peut étendre cette démarche dans le cas continu en considérant non des pondérations λi mais des mesures λ(dx).

Krigeages ponctuels


Krigeage stationnaire à moyenne connue (krigeage simple)

Soit Z une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2. Son espérance m et sa matrice de covariance \({\displaystyle K=(K_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}\) pour les sites d'échantillonnage \({\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}\) sont supposées connues. On suppose sans perte m=0. On cherche le krigeage de Z en un point \({\displaystyle x_{0}}\).

Le système de krigeage simple s'écrit matriciellement : \({\displaystyle \mathbf {K} \mathbf {\lambda } =\mathbf {K} _{0}}\)

K est la matrice de covariance aux sites d'échantillonnage : \({\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{pmatrix}K_{1,1}&\cdots &K_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\K_{n,1}&\cdots &K_{n,n}\end{pmatrix}}=(Cov(Z(x_{i}),Z(x_{j})))_{1\leq i,j\leq n}}\)

λ est la matrice des poids de krigeage : \({\displaystyle \mathbf {\lambda } ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{pmatrix}}}\)

et \({\displaystyle K_{0}}\) est la matrice de covariance du point krigé avec les sites d'échantillonnage \({\displaystyle \mathbf {K} _{0}={\begin{pmatrix}K_{1,0}\\\vdots \\K_{n,0}\end{pmatrix}}=(Cov(Z(x_{i}),Z(x_{0})))_{1\leq i\leq n}}\)

La matrice de covariance étant symétrique, définie positive, elle est inversible et on résout le système de krigeage en l'inversant : \({\displaystyle \mathbf {\lambda } =\mathbf {K} ^{-1}\mathbf {K} _{0}}\)

Le résultat de l'interpolation au point \({\displaystyle x_{0}}\) est :

\({\displaystyle {Z_{0}}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}\)

Dans le cas général, l'espérance m de Z n'est pas toujours nulle. On calcule alors les poids \({\displaystyle \lambda _{i}}\) du krigeage de la variable \({\displaystyle Z-m}\) au point \({\displaystyle x_{0}}\), dont l'espérance est nulle. On obtient le krigeage simple de Z en \({\displaystyle x_{0}}\) : \({\displaystyle {Z_{0}}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}+\left(1-\sum _{i}\lambda _{i}\right)m}\)

La variance d'estimation du krigeage simple est : \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {S} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{0,i}}\)

Le krigeage simple ne peut s'écrire directement en termes de variogramme, puisque la somme des poids n'est pas égale à 1. Le krigeage simple exige que la covariance soit définie, c'est-à-dire que le variogramme présente un palier.

Si la fonction aléatoire Z est gaussienne, le résultat de krigeage Z0* est l'espérance conditionnelle, et l'estimation et l'erreur sont gaussiennes : \({\displaystyle {Z_{0}}^{*}=\mathrm {E} \left[Z_{0}|Z_{1},\dotsc ,Z_{n}\right]}\) \({\displaystyle Z_{0}-{Z_{0}}^{*}\sim {\mathcal {N}}\left(0,{\sigma _{\mathrm {S} }}^{2}\right)}\)

Krigeage stationnaire à moyenne inconnue (krigeage ordinaire, 1)

L'espérance m est supposée inconnue (mais définie).

\({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}&+~\mu &=K_{i,0}~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=1\end{aligned}}\end{cases}}}\)

Le système de krigeage ordinaire s'écrit matriciellement : \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\mathbf {K} \mathbf {\lambda } &={\mathbf {K} }_{0}\\{Z}_{0}^{*}&=\mathbf {\lambda } ^{\operatorname {T} }\,\mathbf {Z} \end{aligned}}\end{cases}}\mathrm {,~avec~} \mathbf {K} ={\begin{pmatrix}K_{1,1}&\cdots &K_{1,n}&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\K_{n,1}&\cdots &K_{n,n}&1\\1&\cdots &1&0\end{pmatrix}}\mathrm {,~} \mathbf {\lambda } ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\\\mu \end{pmatrix}}\mathrm {,~} \mathbf {K} _{0}={\begin{pmatrix}K_{1,0}\\\vdots \\K_{n,0}\\1\end{pmatrix}}\mathrm {,~} \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}Z_{1}\\\vdots \\Z_{n}\\0\end{pmatrix}}}\)

La variance d'estimation en krigeage ordinaire est \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {O} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{0,i}-\mu }\)

On peut utiliser la même démarche pour évaluer l'espérance inconnue. Soit son estimateur M*.

\({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\mu _{\mathrm {M} }&=0&~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&=1\end{aligned}}\end{cases}}}\)

La variance de l'évaluation de la moyenne est donc : \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {M} }}^{2}=-\mu _{\mathrm {M} }}\)

Krigeage strictement intrinsèque (krigeage ordinaire, 2)

Soit Z strictement intrinsèque sans dérive.

Ce cas est identique au précédent, écrit en variogramme: \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}-&\sum _{j}\lambda _{j}\gamma _{i,j}&+\mu &=-\gamma _{i,0}~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=1\end{aligned}}\end{cases}}}\)

La variance d'estimation en krigeage ordinaire est encore \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {O} }}^{2}=-\gamma _{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}\gamma _{0,i}-\mu }\) (le plus généralement γ0,0=0).

Lien entre krigeages simple et ordinaire

Le krigeage ordinaire ponctuel se décompose en deux étapes : estimation de la moyenne du processus par krigeage ordinaire, puis krigeage simple en tenant compte de cette moyenne. Posant respectivement λm,i, μm et σO,m2 les poids, multiplicateurs de Lagrange et variance de krigeage ordinaire pour l'estimation de la moyenne, λO,i et μ les poids et multiplicateur de Lagrange pour le krigeage ordinaire, λS,i les poids de krigeage simple, et S=(1−∑iλS,i) le poids de la moyenne en krigeage simple, on a : \({\displaystyle \lambda _{\mathrm {O} ,i}=\lambda _{\mathrm {S} ,i}+S\lambda _{\mathrm {m} ,i}}\) \({\displaystyle \mu =S\mu _{\mathrm {m} }}\) \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {O} }}^{2}={\sigma _{\mathrm {S} }}^{2}+S^{2}{\sigma _{\mathrm {O} ,\mathrm {m} }}^{2}}\)

La variance de krigeage simple est inférieure à celle du krigeage ordinaire associé. Si les données sont nombreuses et bien structurées, les deux krigeages sont proches. Sinon, le krigeage simple attribue un poids important à la moyenne globale connue, et le krigeage ordinaire attribue le même poids à une estimation locale de la moyenne, ainsi ce dernier est plus robuste quant aux défauts de stationnarité. D'une manière générale, le krigeage ordinaire est à préférer au krigeage simple, sauf cas particuliers (krigeage d'indicatrices, simulations).

Krigeage universel

Le modèle supposé est Z(x)=Y(x)+m(x), comportant une dérive m(x) déterministe et un résidu Y(x) voulu stationnaire (résidu vrai), et d'espérance nulle. La difficulté est de séparer les deux composantes m et y dans la variable régionalisée z. Cette dichotomie peut représenter une opposition explicative entre basses et hautes fréquences, entre tendance régionale et anomalies.

La dérive est supposée décomposable selon un nombre connu de fonctions de base \({\displaystyle \scriptstyle m(x)=\sum _{l}a_{l}f_{l}(x)}\), généralement des monômes des coordonnées, avec f0=1 la fonction constante unité. Les coefficients al sont inconnus. Le modèle de dérive calculé par les algorithmes ci-après ne décrit pas forcément la tendance du phénomène, mais une approximation à l'échelle de travail.

Les hypothèses sur le résidu Y sont appelés sous-jacents sur Z.

Krigeage universel à modèle sous-jacent stationnaire d'ordre 2

Ce modèle est interprétable comme ayant une force de rappel autour de la dérive. La covariance est posée \({\displaystyle \scriptstyle K_{a,b}=\mathbf {Cov} \left[Z(a),Z(b)\right]=\mathbf {Cov} \left[Y(a),Y(b)\right]}\).

On notera fli la valeur de fl au point xi, pour i=0…n.

Sous forme matricielle, le krigeage universel s'écrit : \({\displaystyle {\begin{pmatrix}K_{i,j}&f_{li}\\f_{li}&{\mathit {0}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{j}\\\mu _{l}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}K_{i,0}\\f_{l0}\end{pmatrix}}}\)

La variance d'estimation est: \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {U} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{i,0}-\sum _{l}\mu _{l}f_{l0}}\)

Krigeage universel à modèle sous-jacent intrinsèque strict

On suppose Y intrinsèque stricte sans dérive (la dérive étant intégrée à m).

Le système de krigeage s'écrit : \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}-&\sum _{j}\lambda _{j}\gamma _{i,j}&+\mu _{0}+\sum _{l\neq 0}\mu _{l}f_{li}&=-\gamma _{i0},&\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=1&\\&\sum _{j}\lambda _{j}f_{lj}&&=f_{l0},&\forall l\neq 0\end{aligned}}\end{cases}}}\)

Soit matriciellement: \({\displaystyle {\begin{pmatrix}-\gamma _{i,j}&{\mathit {1}}&f_{li}\\{\mathit {1}}&0&{\mathit {0}}\\f_{lj}&{\mathit {0}}&{\mathit {0}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{j}\\\mu _{0}\\\mu _{l}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\gamma _{i,0}\\1\\f_{l0}\end{pmatrix}}}\)

La variance d'estimation est: \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {U} }}^{2}=\sum _{i}\lambda _{i}\gamma _{i,0}-\mu _{0}-\sum _{l\neq 0}\mu _{l}f_{l0}}\)

Le résultat est identique au cas précédent, cependant la situation physique n'est pas la même : ici, le phénomène peut admettre un variogramme sans palier, c'est-à-dire sans force de rappel.

Évaluation de la dérive

Les calculs précédents ont supposé une dérive m déterministe, connue et régulière.

En modèle sous-jacent stationnaire, posons un estimateur linéaire de la dérive : \({\displaystyle \scriptstyle M^{*}(x)=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}\). Les λi sont solutions du système : \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}&+\sum _{l}\mu _{l}f_{li}&=0,~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}f_{lj}&&=f_{l0},^{~}\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}\)

Et la variance d'estimation en est : \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {D} }}^{2}=-\sum _{l}\mu _{l}f_{l0}}\)

En modèle sous-jacent intrinsèque strict, les contraintes d'autorisation et d'universalité sont incompatibles ; l'estimation optimale de la dérive est impossible.

Évaluation des coefficients de la dérive

Variogramme des résidus

Krigeage intrinsèque (FAI-k)

On suppose ici que Z est une FAI-k, k étant une valeur donnée.

Le système de krigeage intrinsèque s'écrit : \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}&=K_{i,0}&\forall i\\\sum _{j}\lambda _{j}f_{l_{j}}&=f_{l_{0}}&\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}\)

La variance d'estimation en krigeage intrinsèque est : \({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {I} }}^{2}=K_{0,0}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{0,i}-\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{0}}}\)

On dispose des propriétés suivantes :

Régularité du krigeage

Conditions de régularité du système de krigeage — Le système de krigeage (en krigeage intrinsèque) est régulier ssi

  • la sous-matrice K est positive conditionnelle stricte :
    \({\displaystyle \scriptstyle \forall {\lambda \in \Lambda _{k}},\sum _{i,j}\lambda _{i}K_{i,j}\lambda _{j}\geq 0}\) et \({\displaystyle \scriptstyle \sum _{i,j}\lambda _{i}K_{i,j}\lambda _{j}=0\ \Rightarrow \ \lambda =0}\)
  • les fonctions de base sont linéairement indépendantes sur les données
    \({\displaystyle \scriptstyle \forall {i},\sum _{l}\left(c_{l}f_{l_{i}}\right)=0\ \Rightarrow \ \sum _{l}c_{l}=0}\)

Dualité du krigeage

Supposons le système de krigeage intrinsèque régulier. Le système dual est défini par: \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{i}b_{i}K_{j,i}+\sum _{l}c_{l}f_{l_{j}}&=z_{j}~\forall j\\&\sum _{i}b_{i}f_{l_{i}}&=0~\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}\)

Sa résolution selon bi et cl fournit une approche non-probabiliste du krigeage, à travers l'égalité suivante, où les coefficients sont indépendants du lieu d'évaluation x0: \({\displaystyle z_{0}^{*}=\sum _{i}b_{i}K_{i,0}+c_{l}f_{l_{0}}}\)

Le krigeage peut donc se caractériser comme l'interpolateur z*:

Un théorème établi par Georges Matheron montre l'équivalence entre spline et krigeage, même si la conversion n'est en pratique pas aisée.

Propriétés du krigeage


Autres utilisations du krigeage


Filtrage de composantes

Supposons une variable aléatoire Z = m + ∑iYi avec m sa moyenne et Yi des variables aléatoires intrinsèques indépendantes deux à deux, de moyenne nulle et de variogrammes respectifs γi. On peut poser un estimateur d'une composante Yk sous la forme :
\({\displaystyle {Y_{k}}^{*}=\sum _{i}\lambda _{i}Z_{i}}\)
où les λi sont solutions de :
\({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}-&\sum _{j}\lambda _{j}\gamma _{i,j}&+\mu &=-&\gamma _{k;i,0}&~\forall i\\&\sum _{j}\lambda _{j}&&=&0\end{aligned}}\end{cases}}}\)

Krigeage factoriel

Soit un jeu de variables Zn, n∈⟦1;N, dont les variogrammes sont supposées combinaisons linéaires de structures γp, p∈⟦1;P. Étudions une structure numéroté p. Posons un jeu de variables Yp, n, orthogonales (moyenne nulle et variance unitaire), indépendantes deux à deux et de même variogramme. Posons : \({\displaystyle Z_{n}=m_{n}+\sum _{p=1}^{P}\sum _{k=1}^{N}a_{p,n,k}Y_{p,k}}\) Cette décomposition n'est néanmoins pas unique ; le sens physique des Yp,k n'est pas garanti.

On a rapidement les variogrammes croisés : \({\displaystyle \gamma _{Z_{i},Z_{j}}=\sum _{p=1}^{P}b_{p,i,j}\gamma _{p}}\) où \({\displaystyle b_{p,i,j}=\sum _{k=1}^{N}a_{p,i,k}a_{p,j,k}}\) On obtient des matrices (bp,i,j)i,j symétriques et définies positives. Par renumérotation selon p, les Yp,n sont ordonnés de manière décroissante selon leur valeur propre (la part de variance de la composante d'échelle)[pas clair].

Le krigeage factoriel consiste à tenir compte des structures les plus explicatives (dont la valeur propre est significative), soit les p premières composantes (pp) : \({\displaystyle {Z_{n}}^{*}\simeq {m_{i}}^{*}+\sum _{p=1}^{\bar {p}}\sum _{k=1}^{N}a_{p,j,k}Y_{p,k}^{*}}\)

Krigeage de bloc

Ce krigeage n'est pas ponctuel : il vise à estimer la variable Z sur un volume ou support v. Dans le cas d'une FAI-k, cela revient à remplacer :

\({\displaystyle K_{i,v}={\frac {1}{\left|v\right|}}\int _{v}K_{i,x}\mathrm {d} x}\)

\({\displaystyle f_{l,v}={\frac {1}{\left|v\right|}}\int _{v}f_{l,x}\mathrm {d} x}\)

\({\displaystyle K_{v,v}={\frac {1}{\left|v\right|^{2}}}\int _{v}\int _{v}K_{x,y}\mathrm {d} x\mathrm {d} y}\)

Le système de krigeage de bloc s'écrit : \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}&=K_{i,v}&\forall i\\&\sum _{i}\lambda _{i}f_{l_{i}}&=f_{l,v}&\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}\) La variance d'estimation en krigeage de bloc est\({\displaystyle {\sigma _{\mathrm {B} }}^{2}=K_{v,v}-\sum _{i}\lambda _{i}K_{i,v}-\sum _{l}\mu _{l}f_{l,v}}\)

Les calculs d'intégrales nécessitent des algorithmes de discrétisation. Une variante est le krigeage de polygone ou de polyformes.

Estimation de gradient

Le but est d'estimer Zu dans une direction u (vecteur unitaire). On posera la définition : \({\displaystyle {\frac {\partial Z}{\partial u}}=lim_{r\to 0^{+}}{\frac {Z\left(x+ru\right)-Z\left(x-ru\right)}{2r}}}\)

Si la covariance K(h) est stationnaire et isotrope, Z est différentiable ssi K est deux fois différentiable en 0 ; alors la covariance de Z est K, qui est définie en tout point. Alors (Zu)*=Z*u. Dans des cas courants, la condition n'est pas forcément remplie et Zu n'est pas défini ; on étend alors la relation précédente.

Si Z a un effet pépite, c'est dérivée de la partie continue du phénomène qui est estimée.

Le système de krigeage de gradient s'écrit : \({\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&\sum _{j}\lambda _{j}K_{i,j}+\sum _{l}\mu _{l}f_{l_{i}}&={\frac {\partial K_{i,0}}{\partial u}}&\forall i\\&\sum _{i}\lambda _{i}f_{l_{j}}&={\frac {\partial f_{l_{0}}}{\partial u}}&\forall l\end{aligned}}\end{cases}}}\)

La variance d'estimation en krigeage de gradient est

Krigeage avec inégalités

En théorie, le krigeage ne permet pas de traiter des contraintes d'inégalité. Néanmoins, des algorithmes à base d'échantillonnage de Gibbs ont été développés pour fournir une solution approchée dans le cas d'une variable gaussienne.

Cokrigeage


Soit le cas multivariable d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 d'espérance nulle, sur nD. Le cas se ramène aisément au cas simple ; de cela découlent les propriétés générales, comme l'interpolation exacte, la superposition des figures de krigeage…

Le résultat d'un cokrigeage multivariable donne une rôle symétrique aux différentes composantes, tant sur leur hiérarchie que sur leur échantillonnage. Par rapport au cas monovariable, le cokrigeage multivariable exige plus de doigté, de données et de contrôles avant et après l'évaluation.

Variables séparées

Si les composantes de Z sont indépendantes, la matrice de cokrigeage devient diagonale de composantes Ki,i, i∈⟦1,d. Cette séparation des variables conduit à des krigeages simples sur chacune des composantes.

Cokrigeage universel

Dans le cas général, on pose la FASt-2 multivariable Z comme somme d'une FASt-2 multivariable d'espérance nulle Y et d'une dérive m déterministe décomposée selon une base de fonctions fl:

\({\displaystyle Z\left(x,i\right)=Y\left(x,i\right)+\sum _{l}a_{l}f_{l}\left(x,i\right)}\)

Les fonctions de base peuvent être choisies de manière à refléter des liaisons entre les dérives. Par exemple, dans le cas ℝ✕{1,2}, bivariable sur un espace à une dimension, on peut supposer :

Régularité du système

Les conditions de régularité du système sont similaires à celles du krigeage monovariable:

Cependant, la conditionnalité n'est pas une condition d'autorisation comme dans le cas monovariable, mais de filtrage, et signifie que toute mesure ν satisfaisant aux contraintes \({\displaystyle \scriptstyle \forall l\in \left\{1,\cdots ,k\right\},\sum _{j}\int _{S_{j}}\nu _{j}\left(\mathrm {d} y\right)f_{l}\left(y,j\right)=0}\), on a :

\({\displaystyle \sum _{i,j}\int _{S_{i}}\int _{S_{j}}\nu _{i}\left(\mathrm {d} x\right)K_{i,j}\left(x,y\right)\nu _{j}\left(\mathrm {d} y\right)=0\Rightarrow \nu =0}\)

Coestimation optimale des coefficients de la dérive

Les coefficients al de la dérive peuvent s'estimer par : \({\displaystyle A_{l}^{*}=\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\lambda _{j}\left(\mathrm {d} y\right)Z\left(y,j\right)}\), où \({\displaystyle \lambda _{l}\left(\mathrm {d} y\right)}\) est solution d'un système de krigeage.

Forme duale

On adopte une notation par des mesures :

\({\displaystyle z^{*}\left(x_{0},i_{0}\right)=\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\psi _{j}\left(\mathrm {d} y\right)K_{j,i_{0}}\left(y,x_{0}\right)+\sum _{s}{a^{*}}_{s}f_{s}\left(x_{0},i_{0}\right),~\forall \left(x_{0},i_{0}\right)\in S}\)

Les mesures ψj et les coefficients a*l sont solutions du système dual:

\({\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \left(x,i\right)\in S,l\in [\![1;k]\!]\\&{\begin{cases}\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\psi _{j}\left(\mathrm {d} y\right)K_{i,j}\left(x,y\right)+\sum _{s}{a^{*}}_{s}f_{s}\left(x,i\right)&=z\left(x,i\right)\\\sum _{j\in D}\int _{S_{j}}\psi _{j}\left(\mathrm {d} y\right)f_{l}\left(y,j\right)&=0\end{cases}}\end{aligned}}}\)

Analyse krigeante

Krigeage avec dérive


Le krigeage avec dérive part d'une situation où on suppose que la connaissance de la variable régionalisée étudiée z, qu'on supposera ici FASt-2, peut être améliorée par celle d'une autre variable régionalisée bien mieux échantillonnée (par exemple, la pluviométrie et le relief); cette seconde variable est nommée fonction de forme s; elle doit être connue (ou estimée) aux points de données de z et aux points d'estimation. On posera entre l'espérance de Z et s, par exemple polynomiale (et souvent affine, avec k=1):

\({\displaystyle \mathbf {E} \left[Z\left(x\right)\right]=\sum _{l=0}^{k}a_{l}s^{l}\left(x\right)}\)

Le krigeage s'effectue de manière similaire au krigeage universel.

Notes et références


  1. Bogaert p. 2007. Analyse statistique de données spatiales et temporelles. Notes de cours. Université catholique de Louvain.
  2. Krigeage, Gratton Y., Les Articles de l'IAG
  3. Matheron G. 1962. Traité de géostatistique appliquée, tome I. In E. Technip (ed.), Mémoires du Bureau de recherches géologiques et minières, no 14. Paris.

Voir aussi


G. Leborgne, « Introduction au krigeage » , sur ISIMA,

Bibliographie











Catégories: Géostatistique




Information à partir de: 09.12.2020 08:12:13 CET

Source: Wikipedia (Auteurs [Histoire])    Licence: CC-by-sa-3.0

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