Pondération inverse à la distance - fr.LinkFang.org

Pondération inverse à la distance


La pondération inverse à la distance ou PID (en anglais, inverse distance weighting ou IDW) est une méthode d'interpolation spatiale, un processus permettant d'assigner une valeur à tout point d'un espace à partir d'un semis de points connus.

Une forme courante pour trouver une valeur interpolée u à partir d'un point donné x en utilisant la PID est une fonction d'interpolation : \({\displaystyle u(\mathbf {x} )={\frac {\sum _{k=0}^{N}{{w_{k}(\mathbf {x} )}^{p}u_{k}}}{\sum _{k=0}^{N}{w_{k}(\mathbf {x} )}^{p}}},}\)

où : \({\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}},}\)

est une fonction simple de pondération, comme définie par Shepard[1], x étant le point à interpoler, xk est un point d'interpolation (connu), uk la valeur de la fonction u au point xk, d est une distance donnée (opérateur de mesure) du point d'interpolation xk au point à interpoler x, N est le nombre total de points connus utilisés dans l'interpolation et p est un nombre positif réel, appelé le paramètre de puissance. Ici, le poids des points voisins diminue lorsque la distance augmente. Les plus grandes valeurs de p donnent une influence plus grande aux valeurs les plus proches du point interpolé. Pour 0 < p < 1, en u(x), on observe des sommets lissés autour du point d'interpolation xk, alors que pour p > 1, le pic devient plus pointu. Le choix de p est donc une fonction du degré de lissage désiré pour l'interpolation, de la densité et la distribution des échantillons interpolés, et de la distance maximum au-delà de laquelle un échantillon individuel peut influencer les points environnants. Telle que décrite, la fonction d'interpolation est indéterminée aux points d'interpolation (division 0/0). Dans ce cas, la pondération sera prise égale à 1 pour le point à distance 0 de x, et 0 pour tous les autres points.

Sommaire

Pondération de Shepard


La méthode de Shepard est une conséquence de la minimisation d'une fonction liée à la mesure des déviations entre les tuples de points interpolés {x, u(x)} et k tuples de points d'interpolation {xk, uk}, définis comme : \({\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{k=0}^{N}{\frac {(u-u_{k})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},}\)

dérivé de la condition de minimisation : \({\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0}\).

La méthode peut être aisément étendue à des dimensions supérieures de l'espace et est en fait une généralisation de l'approximation de Lagrange aux espaces multidimensionnels.

Une version modifiée de l'algorithme créé pour l'interpolation trivariée a été développée par Robert J. Renka et est disponible dans Netlib comme "algorithm 661" dans la bibliothèque "toms" ("Transactions On Mathematical Software").

Autres pondérations


Pondération de Łukaszyk-Karmowski

Une autre modification de la méthode de Shepard a été proposée par Łukaszyk[2] aussi en application à la mécanique appliquée. La fonction de pondération proposée avait la forme suivante :

\({\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )={\frac {1}{(D_{**}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k}))^{\frac {1}{2}}}},}\) où \({\displaystyle D_{**}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}\) est la mesure de Lukaszyk-Karmowski choisie également en fonction de l'erreur statistique et de la distribution de la probabilité de la mesure des points interpolés.

Pondération de Franke-Little

Une modification de la méthode de Shepard a été proposée par Franke[3], qui suggère d'utiliser : \({\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )=\max \left(1-{\frac {d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}{R}},0\right),}\) comme fonction de pondération, où R est le rayon de la sphère d'influence, distance au-delà de laquelle les points d'interpolation n'ont plus d'effet sur la valeur interpolée. De fait, la pondération de Franke-Little rend l'interpolation locale. Il faut s'assurer de choisir R pour que suffisamment de points soient situés à l'intérieur de la sphère d'influence. L'interpolation locale permet de diminuer la quantité de calculs lorsque les points d'interpolations sont très nombreux.

Références


  1. Donald Shepard (1968). « A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data » Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524 p. (DOI:10.1145/800186.810616 ). 
  2. A new concept of probability metric and its applications in approximation of scattered data sets
  3. (en) R. Franke, « Scattered data Interpolation: Tests of some methods », Mathematics of Computation, vol. 38,‎ , p. 181–200

Voir aussi











Catégories: Mathématiques interdisciplinaires | Interpolation spatiale | Interpolation numérique | Géostatistique




Information à partir de: 08.12.2020 03:07:03 CET

Source: Wikipedia (Auteurs [Histoire])    Licence: CC-by-sa-3.0

Changements: Toutes les images et la plupart des éléments de conception liés à celles-ci ont été supprimés. Certaines icônes ont été remplacées par FontAwesome-Icons. Certains modèles ont été supprimés (comme «l’élargissement de l’article doit être développé) ou attribués (comme les« notes »). Les classes CSS ont été supprimées ou harmonisées.
Les liens spécifiques à Wikipedia qui ne mènent pas à un article ou à une catégorie (tels que «Liens rouges», «Liens vers la page de modification», «Liens vers des portails») ont été supprimés. Chaque lien externe a une icône FontAwesome supplémentaire. Outre quelques modifications mineures dans la conception, le conteneur de supports, les cartes, les boîtes de navigation, les versions parlées et les microformats géographiques ont été supprimés.

Notez s'il vous plaît: Étant donné que le contenu donné est automatiquement extrait de Wikipedia à un moment donné, une vérification manuelle était et n'est pas possible. Par conséquent, LinkFang.org ne garantit pas l'exactitude ni l'actualité du contenu acquis. S'il existe une information erronée pour le moment ou dont l'affichage est inexact, n'hésitez pas à Contactez-nous: l'e-mail.
Voir également: mentions légales & charte de confidentialité.