Puits de potentiel - fr.LinkFang.org

Puits de potentiel




Un puits de potentiel désigne, en physique, le voisinage d'un minimum local d'énergie potentielle.

Sommaire

Étude mathématique


Soit une courbe plane, située dans un plan vertical, en forme de cuvette. Un point matériel, de masse m, s'y meut, en glissant sans frottement. La conservation de l'énergie donne, en prenant l'abscisse curviligne s(t) comme inconnue, l'équation du mouvement de ce point:

\({\displaystyle {\dot {s}}^{2}+2gh(s)=2E/m=2gH}\)

qui s'appelle en mathématiques une équation différentielle de Leibniz. Par dérivation, on obtient une équation différentielle de Newton du second ordre :

\({\displaystyle {\ddot {s}}+g{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} s}}=0}\).

De l'équation de Leibniz, on tire la vitesse \({\displaystyle v(s)={\dot {s}}=}\) ± \({\displaystyle {\sqrt {2g(H-h(s))}}}\)

Ce qui ramène à l'étude d'un diagramme horaire. Par exemple le cas simple (dit de Torricelli) de \({\displaystyle h(s)=|s|}\) y est étudié.

Il arrive que l'on considère en physique une équation similaire : le mouvement d'un point matériel sur un axe x'Ox, sous l'action d'une force F(x) :

\({\displaystyle {\ddot {x}}=F/m:=g(x)}\)

(On appelle énergie potentielle V(x) est l'opposée de la primitive de F(x)). La conservation de l'énergie donne le même type d'équation de Leibniz. On dit alors que la particule est confinée dans un puits de potentiel, sur l'intervalle [a,b], a et b, racines contiguës de V(x)= E.

Cuvette symétrique


Soit l'origine O, au fond de la cuvette, sans restriction de généralité. Soit A le point d'abscisse s = a telle que h(A)= H.

Le mouvement se décrit qualitativement fort bien : la vitesse, maximale en O, ne cesse de décroître jusqu'à l'arrivée en A, au temps t1. Puis la particule rétrograde selon le même mouvement, et arrive en O, avec la vitesse opposée. Elle décrit alors l'autre bord de la cuvette, symétriquement, jusqu'au point symétrique A' et revient : le mouvement est périodique de période T = 4 t1. La méthode du diagramme horaire s'applique bien à ce cas qui peut donc s'expliquer et s'expérimenter sans de hautes mathématiques ; on peut ainsi tracer T(H).

Exemple : la cycloïde de Huygens (1659)


Huygens trouve quelle doit être la forme de la courbe pour que les oscillations soient isochrones : il faut une cuvette qui se relève plus vite que le cercle osculateur en O, de rayon R ; il trouve que la cycloïde convient. Alors \({\displaystyle T(H)=cste=T_{o}=2\pi {\sqrt {R/g}}}\).

Taux d'harmoniques


L'oscillation n'est pas en général harmonique. Il est usuel de poser :

\({\displaystyle v^{2}(s)=2g(H-h(s)):=(s-a(H))^{2}N^{2}(s)}\), et s=a(H).\cos\({\displaystyle \phi }\).

Ainsi :

\({\displaystyle t=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} u}{N[a(H)\cos(u)]}}}\)
\({\displaystyle T(H)=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} u}{N[a(H)\cos(u)]}}}\) ,

la fonction N(s) (en hertz) étant généralement bornée : N1 < N < N2, alors T2 < T(H) < T1.

soit la décomposition en série de Fourier de s(t) : \({\displaystyle s(t)=\sum _{n}b_{n}\cos \left[{\frac {2\pi nt}{T(H)}}\right]}\),

le taux d'harmoniques est pratiquement non décroissant jusqu'à une valeur \({\displaystyle \aleph _{0}(H)}\), puis s'écroule exponentiellement (donc très vite), dès que n > \({\displaystyle \aleph _{0}(H)}\) : cela est essentiellement dû au caractère indéfiniment dérivable de s(t), c’est-à-dire à la "régularité" de la cuvette (cf Appell, mécanique, 1915).

Alors on a évidemment la vitesse v(x) constante (au signe près), égale à \({\displaystyle {\sqrt {2E/m}}}\) et la période \({\displaystyle T(E)=2a{\sqrt {2E/m}}}\). L'analyse de Fourier de s(t), qui est une fonction "triangle", donne des coefficients qui décroissent comme 1/n^2 et non pas exponentiellement.

Ces problèmes à plusieurs "fenêtres de sortie" donneront du mal à être quantifiés en mécanique quantique : c'est le problème des barrières de potentiel double, voire triple en radio-activité.

Quelques cas de cuvettes symétriques


Remarque : par symétrie de Corinne, à ces cuvettes correspondent des barrières de potentiel, dont on peut évaluer en mécanique quantique l'effet tunnel ; c'est une des raisons de trouver un maximum d'exemples pour pouvoir interpréter nombre d'expériences.

Détermination de h(s) grâce à l'observation de T(H)


Cela s'appelle résoudre un problème inverse. Landau et Lifschitz (mécanique, ed Mir) traitent ce problème difficile.

La notion mathématique qui s'applique bien ici est la notion de dérivée fractionnaire d'ordre 1/2, dite d'Abel. En fait c'est la fonction réciproque s(h) que l'on détermine {on a déjà vu dans le cas du pendule simple que h (et non s) est la bonne fonction inconnue, et alors on en déduit s(h(t))} : la formule est :

\({\displaystyle s(h)={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {g}}\int _{0}^{h}{\frac {T(H)\mathrm {d} H}{\sqrt {h-H}}}}\) ,

dont on vérifie immédiatement l'homogénéité s = sqrt(gHo)To. Voir ci-dessous la démonstration.

Quelques vérifications de cas connus

Démonstration de la formule

La demi-primitive fractionnaire de la dérivée \({\displaystyle f'(x)}\) est la demi-dérivée de \({\displaystyle f(x)}\) (Théorème de réciprocité d'Abel) ;

mais on peut opter pour une démonstration sans l'artillerie lourde (des dérivées fractionnaires !) ; voici celle empruntée à Landau (on a pris g=1) :

(penser à \({\displaystyle HM^{2}=HA.HB}\), dans le triangle-rectangle AMB, inscrit dans le demi-cercle de diamètre AB : alors \({\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} x}{HM}}=\mathrm {d} \phi }\) ; d'où la réponse).

soit en intégrant sur la nouvelle variable H, de 0 à h, puis en intervertissant l'ordre d'intégration, d'abord en H, puis en z, l'obtention de la formule de réciprocité d'Abel.

On pourra s'exercer avec les résultats précédents.

Cuvettes non symétriques


Il suffit de remarquer avec Newton que seule importe la section du puits de potentiel V(x) par la droite d'énergie E. On se ramène alors, "à la Cavalieri", à un puits de potentiel symétrique.

Sont de ce type :

Remarque : supersymétrie

Les potentiels précités ne sont pas trouvés au hasard ; ils résultent d'une sorte de factorisation, déjà remarquée par Schrödinger en 1940, et puis retrouvée par Ingold et bien d'autres, pour des besoins bien différents.

Évidemment, il se trouve que l'oscillateur harmonique radial et l'atome de Rutherford en font partie.

Formule de perturbation


Très souvent en physique, le puits de potentiel est légèrement perturbé par l'adjonction d'un paramètre que l'on peut contrôler (champ magnétique : effet Zeeman classique ; champ électrique : effet Stark classique, etc.). Il est alors intéressant de savoir quelle est la nouvelle période T(H).

La règle est la suivante :

\({\displaystyle T_{1}(H)=-k\cdot {\frac {\mathrm {d} I_{1}}{\mathrm {d} H}}}\).
\({\displaystyle +{\dfrac {1}{2!}}\cdot k^{2}\cdot {\frac {\mathrm {d} ^{2}I_{2}(H)}{\mathrm {d} H^{2}}}}\) avec I2 (en joule²·seconde) = T(H).[moyenne temporelle de V1\({\displaystyle ^{2}}\)(x)] ; etc.

Application : la formule de Borda du pendule simple est retrouvée : En effet, les calculs montrent que \({\displaystyle T_{1}=T_{o}\cdot (1+{\frac {\theta _{o}^{2}}{16}})}\)

On trouve aussi les formules du ressort mou ou du ressort dur. On pourra aussi tester les développements limités des formules exactes des puits de potentiel précédents.

Articles connexes


Liens Externes











Catégories: Mécanique








Source: Wikipedia - https://fr.wikipedia.org/wiki/Puits de potentiel (Auteurs [Histoire])    Licence: CC-by-sa-3.0

Changements: Toutes les images et la plupart des éléments de conception liés à celles-ci ont été supprimés. Certaines icônes ont été remplacées par FontAwesome-Icons. Certains modèles ont été supprimés (comme «l’élargissement de l’article doit être développé) ou attribués (comme les« notes »). Les classes CSS ont été supprimées ou harmonisées.
Les liens spécifiques à Wikipedia qui ne mènent pas à un article ou à une catégorie (tels que «Liens rouges», «Liens vers la page de modification», «Liens vers des portails») ont été supprimés. Chaque lien externe a une icône FontAwesome supplémentaire. Outre quelques modifications mineures dans la conception, le conteneur de supports, les cartes, les boîtes de navigation, les versions parlées et les microformats géographiques ont été supprimés.


Information à partir de: 23.06.2020 01:38:20 CEST - Notez s'il vous plaît: Étant donné que le contenu donné est automatiquement extrait de Wikipedia à un moment donné, une vérification manuelle était et n'est pas possible. Par conséquent, LinkFang.org ne garantit pas l'exactitude ni l'actualité du contenu acquis. S'il existe une information erronée pour le moment ou dont l'affichage est inexact, n'hésitez pas à Contactez-nous: l'e-mail.
Voir également: mentions légales & charte de confidentialité.