Théorème des zéros de Hilbert


Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert.

Sommaire

Énoncés


Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X1,…,Xn] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X1,…,Xn]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert.

Théorème 1 (Lemme de Zariski[1]). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K.

De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K.

Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates.

On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, c.-à-d. l'ensemble des idéaux maximaux de A.

Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que \({\displaystyle K}\) est algébriquement clos. Alors la fonction

\({\displaystyle {\begin{array}{lcll}\phi :&K^{n}&\to &\operatorname {Spm} K[X_{1},\dots ,X_{n}]\\&(a_{1},\dots ,a_{n})&\mapsto &(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})\end{array}}}\)

est une bijection, où \({\displaystyle (X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n})}\) désigne l'idéal engendré par les \({\displaystyle X_{i}-a_{i}}\).

Autrement dit, un point de \({\displaystyle K^{n}}\) s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à \({\displaystyle n}\) indéterminées sur \({\displaystyle K}\) quand \({\displaystyle K}\) est algébriquement clos.

Théorème 3 (Existence des zéros). Si K est un corps algébriquement clos, alors pour tout idéal propre \({\displaystyle I}\) de K[X1,…,Xn], il existe un point de Kn racine de tout élément de \({\displaystyle I}\).

Ce résultat n'est pas vrai si K n'est pas algébriquement clos. L'idéal M des multiples de X2 + 1 est maximal dans ℝ[X] puisque le quotient de ℝ[X] par M est un corps isomorphe à ℂ, pourtant le polynôme n'admet pas de racine dans ℝ.

Théorème 4. Soit \({\displaystyle I}\) un idéal d'une algèbre de type fini A sur K. Alors le radical I de \({\displaystyle I}\) est égal à l'intersection des idéaux maximaux de A contenant \({\displaystyle I}\).

Si \({\displaystyle P}\) est un polynôme appartenant à K[X1,…,Xn], les zéros de \({\displaystyle P}\) dans Kn sont les points \({\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}}\) tels que \({\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})=0}\).

Corollaire (Nullstellensatz fort). Supposons K algébriquement clos. Soient \({\displaystyle I}\) un idéal de K[X1,…,Xn] et \({\displaystyle Z(I)}\) l'ensemble des zéros communs des polynômes de \({\displaystyle I}\). Si \({\displaystyle f}\) est un polynôme dans K[X1,…,Xn] qui s'annule sur \({\displaystyle Z(I)}\), alors une puissance de \({\displaystyle f}\) appartient à \({\displaystyle I}\).

Le théorème 2 sur la structure des idéaux maximaux est faux sur un corps non algébriquement clos (même en une variable). Cependant, la propriété plus faible suivante subsiste :

Par la théorie de la dimension de Krull, on sait qu'aucun idéal maximal de K[X1,…,Xn] ne peut être engendré par strictement moins que \({\displaystyle n}\) éléments.

Théorème de Bézout


Une forme particulière du théorème des zéros est le théorème d'existence des zéros (th. 3 ci-dessus) qui, par contraposée, peut se reformuler ainsi :

\({\displaystyle f_{0}g_{0}+\dots +f_{m}g_{m}=1.}\)

L'astuce de Rabinowitsch[3] montre que ce cas particulier du Nullstellensatz fort implique le cas général. En effet si, dans K[X1,…,Xn], \({\displaystyle I}\) est l'idéal engendré par \({\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}\) et \({\displaystyle f}\) est un polynôme qui s'annule sur \({\displaystyle Z(I)}\), on considère l'idéal de K[X0,X1,…,Xn] engendré par \({\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}\) et par le polynôme \({\displaystyle 1-fX_{0}}\). Cet idéal n'a pas de zéros communs dans Kn+1. Donc il existe \({\displaystyle g_{0},\dots ,g_{m}\in K[X_{0},\dots ,X_{n}]}\) tels que l'on ait

\({\displaystyle (1-fX_{0})g_{0}+f_{1}g_{1}+\ldots +f_{m}g_{m}=1.}\)

En remplaçant dans cette identité \({\displaystyle X_{0}}\) par \({\displaystyle 1/f}\), et en multipliant les deux côtés par une puissance convenable \({\displaystyle N}\) de \({\displaystyle f}\), on voit que cette puissance de \({\displaystyle f}\) appartient à \({\displaystyle I}\). De plus, on peut majorer \({\displaystyle N}\) par le maximum des degrés totaux de \({\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}\).

Notes et références


  1. (en) Oscar Zariski, « A new proof of Hilbert's Nullstellensatz », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 53, no 4,‎ , p. 362-368 (lire en ligne ), Hn
    3
    , p. 363-364.
  2. (en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, (lire en ligne ), chap. 5, exercice 18, reproduit cette preuve due à Zariski, et en donne deux autres (corollaire 5.24 et proposition 7.9).
  3. (de) J. L. Rabinowitsch, « Zum Hilbertschen Nullstellensatz », Math. Ann., vol. 102,‎ , p. 520 (lire en ligne )

Voir aussi


Articles connexes

Lien externe

(en) Florian Enescu, « Commutative Algebra — Lecture 13 » , sur Georgia State University








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Information à partir de: 20.04.2022 10:16:40 CEST

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